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Sam | 未分类 | 2013 年 3 月 3 日
in cc test

How to use In-Context Comment?

First make sure you have activated this plugin. You have complete control on where add “In-Context Comment” icons in each blog post using the following three commands: Add <in-context-comment:auto-on> anywhere in a blog post (in HTML edit mode) to turn on the function to automatically add an In-Context Comment icon at the end of each paragraph that is longer than a certain number of characters (see command below). The auto mode is on by default for all posts. You can use <in-context-comment:auto-off> to turn this function off in a post you don’t want in context comments. <in-context-comment:block-size:N> where N is a positive integer, e.g., 350. When the auto mode is on, this command controls the minimum number of characters a paragraph must have for an In-Context Comment icon to be added at the end of the paragraph. This is to avoid adding icons to a very short paragraph. <in-context-comment:here:tag> where “tag” is any word or words connected by hyphen, e.g., first-comment. You can add this command at any place inside a post where you want readers to leave comments. This command works regardless whether the auto mode is on or off. When the auto mode is on, if you need to edit a post, in the HTML edit mode, you will see a command <in-context-comment:autotag> (where autotag is an auto generated tag for the icon) at the location of each In-Context Comment icon. You can cut and paste the command <in-context-comment:autotag> to move the comment to any place in the post. In the plugin’s configuration page, you can turn on/off the auto mode and change the minimum block-size globally for all posts. The configuration here will apply to all posts unless you use the commands above to change it for an individual post.

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Sam | 未分类 |
世界，你好！

欢迎使用 WordPress。这是系统自动生成的演示文章。编辑或者删除它，然后开始您的博客！

At first, we sample $f(x)$ in the $N$ ( $N$ is odd) equidistant points around $x^*$ :

$f_k = f(x_k),\: x_k = x^*+kh,\: k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2}$

where $h$ is some step.
Then we interpolate points $\{(x_k,f_k)\}$ by polynomial

(1) $\begin{equation*} P_{N-1}(x)=\sum_{j=0}^{N-1}{a_jx^j} \end{equation*}$

Its coefficients $\{a_j\}$ are found as a solution of system of linear equations:

(2) $\begin{equation*} \left\{ P_{N-1}(x_k) = f_k\right\},\quad k=-\frac{N-1}{2},\dots,\frac{N-1}{2} \end{equation*}$

Here are references to existing equations: (1), (2).
Here is reference to non-existing equation (??).

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Sam | 物理 | 2012 年 12 月 18 日
Atwood machine 超重与失重

物体在竖直方向上受到的支持力或拉力大于重力的现象叫超重，小于重力则为失重。

下图装置叫Atwood machine，定滑轮的轻绳两端所系重物的质量分别为 $m_{1}$ 与 $m_{2}$ ， $m_{2}>m_{1}$ 。规定沿绳的运动方向为正方向，即对于 $m_{1}$ 向上是正方向，对于 $m_{2}$ 向下为正方向，这样描述 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的加速度的符号一致。 $m_{2}$ 在重力作用下向下加速运动， $m_{1}$ 被绳拉住向上做加速运动，显然 $m_{1}$ 与 $m_{2}$ 的加速度相同，设其为 $a$ ，受力分析如图， $m_{1}$ 受到向下的重力 $-m_{1}g$ 和向上的拉力 $T$ ， $m_{2}$ 受到向下的重力 $m_{2}g$ 和向上的拉力 $-T$ 。

Atwood machine 超重与失重

分别对 $m_{1}$ 与 $m_{2}$ 应用牛顿第二定律可列两个方程：

$\left\{\begin{matrix} T- m_{1}g &=& m_{1}a \\ m_{2}g-T &=& m_{2}a \end{matrix}\right.$

解出 $a,T$

$\left\{\begin{matrix} a &=& \frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}g \\\\ T &=& \frac{2m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}} \end{matrix}\right.$

比较一下拉力 $T$ 与物体重力的差别。

对于 $m_{1}$

$\begin{eqnarray*} T &=& \frac{2m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}\\ &=& \frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}m_{1}g > m_{1}g \end{eqnarray*}$

物体 $m_{1}$ 所受拉力 $T$ 大于重力，运动的加速度方向与重力加速度方向相反，为超重状态。如向上加速和向下减速运动都是超重状态。

对于 $m_{2}$

$\begin{eqnarray*} T &=& \frac{2m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}\\ &=& \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}m_{2}g < m_{2}g \end{eqnarray*}$

物体 $m_{2}$ 所受拉力 $T$ 小于重力，运动的加速度方向与重力加速度方向相同，为失重状态。如向下加速和向上减速运动都是失重状态。

综上 $m_{1}g<T< m_{2}g$ 。当 $m_{2}\gg m_{1}$ ， $m_{1}\rightarrow 0$ 时， $a\rightarrow g$ ， $T \rightarrow 0$ ，相当于 $m_{2}$ 作自由落体运动；当 $m_{1}=m_{2}$ 时， $a=0$ ，因为这时左右平衡物体静止。

对于 $m_{2}$ 如果 $T=0$ ，则为完全失重状态，完全失重状态其运动加速度就是重力加速度 $g$ ，如自由落体和抛体运动。而人造卫星，空间站中宇航员他们绕地球作轨道运动，其运动的加速度是向心加速度，也就是地球引力加速度 $g$ ，他们同样处于零重力状态。

失重和超重只是他们所受拉力或支持力小于或大于原重力，或者说是视重与实重的差别，重力 $mg$ 在地球附近视为不变为。

绳子的张力T处处相等， $T = \frac{2m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}$ ，滑轮受到的向下的拉力 $F_{PIN}=2T = \frac{4m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}$ ，与两物体重力之和比较一下：

$\begin{eqnarray*} (m_{1}+m_{2})g-F_{PIN} &=& (m_{1}+m_{2})g-2T \\ &=& (m_{1}+m_{2})g-\frac{4m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}} \\ &=& \frac{(m_{1}-m_{2})^{2}}{m_{1}+m_{2}}g \geqslant 0 \\ \therefore F_{PIN} \leqslant (m_{1}+m_{2})g \end{eqnarray*}$

从上式来看，说明两物体总体是失重的，当 $m_{1}= m_{2}$ 时，等号成立，即 $(m_{1}+m_{2})g = F_{PIN}$ ，那就是左右物体等重，系统平衡静止时的状态。

如果把两个物体当作一个整体来看，根据之前沿绳方向为正方向的规定由牛顿第二定律，

$\begin{eqnarray*} F &=& ma \\ m_{2}g-T+T-m_{1}g &=& (m_{1}+m_{2})a \\ a &=& \frac{m_{2}g-m_{1}g}{m_{1}+m_{2}} \\ &=& \frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}g \end{eqnarray*}$